LIMITE
Un límite es una magnitud fija a la que se aproximan cada vez más los términos de una secuencia infinita de magnitudes.
FUNCION CONTINUA
Una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para
puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de
la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Una función
continua de 
en es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin
levantar el lápiz del papel.
en es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin
levantar el lápiz del papel.
FUNCION DISCONTINUA
Función no continua como aquella que no cumple la
definición de función continua, es decir, existe algun punto del dominio donde
el límite de la función a ese punto no es igual al valor de ésta en el mismo
punto:
f(x) no es continua si existe
un x=a perteneciente al Dom(f) tal
que limx→a±f(x)≠f(a)
Por ejemplo:
la
función f(x)={12 si si x≤0x>0.
Esta
función no es continua ya que en el punto x=0 observamos que:
limx→0+f(x)=limx→02=2f(0)=1
y como el
límite lateral por la derecha no coincide con el valor de la función, deducimos
que la función no puede ser continua. Podemos ver la representación gráfica a
continuación:
Se tiene que tener en cuenta que se define una
discontinuidad sobre puntos del dominio de una función. Si la función no
estubiese definida en un punto, aunque tenga comportamiento parecido al de una
discontinuidad, no tendría ninguna, ya no se podría aplicar la definición de
discontinuidad.
DISCONTINUIDAD
EVITABLE
Una
discontinuidad evitable en un punto x=a es aquella en
que los límites laterales coinciden, pero el valor de la función en el punto
no, es decir:
limx→a−f(x)=limx→a+=Lf(a)≠L
Es
razonable que llamen discontinuidad evitable a este tipo de discontinuidades ya
que la función en el punto de discontinuidad parece que sea continua, pero el
punto en concreto no existe, así que sólo añadiendo ese punto, lograríamos que
la función fuera continua (se podría evitar la discontinuidad muy fácilmente).
Por ejemplo la función
{x2−4x+20 si si x≠−2x=−2
Podemos
ver rápidamente que en el punto x=−2 puede que la
función no conecte correctamente. Observemos pues la continuidad en ese punto:
limx→−2−f(x)=limx→−2−x2−4x+2=limx→−2−(x+2)(x−2)x+2=limx→−2−x−2=−4limx→−2+f(x)=limx→−2+x2−4x+2=limx→−2+(x+2)(x−2)x+2=limx→−2+x−2=−4f(−2)=0
Por
consiguiente, f(x) tiene una discontinuidad
evitable en el punto x=−2.
Discontinuidad inevitable (o de
salto finito)
Una
función f(x) tiene
una discontinuidad inevitable en el punto x=a si los
límites laterales de la función en este punto no coinciden (y son finitos), es
decir:
limx→a−f(x)≠limx→a+f(x)f(a)=L
independientemente del valor de la función en x=a (del valor de f(a)).
Es razonable que se llame así ya que a diferencia de las
discontinuidades evitables, esta vez al no ser iguales los límites laterales no
hay manera de poder conectar las dos ramas de la función.
Por ejemplo la función
f(x)={x+1x−1 si si x≤0x>0
podemos ver que en el cero tenemos:
limx→0−f(x)=limx→0x+1=1limx→0+f(x)=limx→0x−1=−1f(0)=1
y al no coincidir los límites,
tenemos una discontinuidad inevitable (teniendo incluso que f(0)=1, que significa
que tenemos continuidad lateral por la izquierda).
Podemos ver la representación gráfica de la función:
DISCONTINUIDAD ESENCIAL
Una
función f(x) tiene
una discontinuidad esencial en el punto x=a si se
cumplen alguno de los siguientes casos:
o
Los límites laterales no coinciden.
o
Alguno de los límites laterales o ambos son infinitos.
Veamos pues exactamente cada caso:
o
Estamos en el caso anterior, discontinuidad inevitable.
o
Se cumple que : limx→a−f(x)=±∞ y/o limx→a+f(x)=±∞ y la
función está definida en x=a (independientemente de su valor).
En estos casos aparecen las asíntotas verticales. Para más sobre
éstas consultar el tema de representación gráfica.
la función
f(x)={1x1 si x≠0 si x=0
podemos ver que el cero
seguramente tendremos algun problema de continuidad, así que miremos qué pasa
con la continuidad de la función en este punto:
limx→0−f(x)=limx→0−1x=10−=−∞limx→0+f(x)=limx→0+1x=10⁺=∞f(0)=1
Por lo tanto tenemos una
discontinuidad esencial en el punto x=0.
Podemos ver una representación gráfica de la función:
La
función f(x)=1x no presenta discontinuidad esencial ya que
la función es continua.
La
discontinuidad la tendríamos en el punto x=0, pero éste no es del dominio de la función, así que no se puede
definir la discontinuidad.
No
obstante, la función sí tiene una asíntota vertical en x=0 y tiene
un comportamiento análogo al de la discontinuidad esencial.
No hay comentarios.:
Publicar un comentario