SUCESIÓN

Una sucesión se va aproximando hacia un punto llamado límite. Si una sucesión tiene límite, se dice que es una sucesión convergente, y que la sucesión converge o tiende al límite. En caso contrario, la sucesión es divergente.

La definición significa que eventualmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como queramos al valor límite. La condición que impone que los elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes no implica, en general, que la sucesión tenga un límite.

Se denota:

DIVERSOS METODOS PARA LAS GRAFICAS

Una función con una variable dependiente y otra independiente se puede representar gráficamente en un eje de coordenadas y abscisas correspondiendo el valor de cada variable a la posición en los ejes. Normalmente se utiliza la variable  para el eje de abscisas y la variable  para el eje de ordenadas.

Para dibujar, construir o representar la gráfica de una función f se pueden seguir los pasos siguientes:

• Buscar el dominio de la función, Dom f(x)
• Se detectan aquellos valores x reales en que f sea discontinua, es decir, aquellos que no estén definidos en el dominio, y se procede a estudiar los limites cuando x tiene a x por la izquierda y por la derecha. De este modo, si x es un punto aislado y no un intervalo, se puede deducir hacia dónde tiende la función cuando pasa cerca del punto x.
• Buscar los límites cuando x tiende a infinito o menos infinito, para averiguar cuándo en el eje de abscisas se tiende al resultado del límite.
• Estudio de la monotonia. Calculando la primera derivada f'(x) e igualándola a cero, se obtienen los posibles candidatos a extremos de la función. Luego se procede a determinar si f(x) es creciente o decreciente entre dos puntos extremos.
• Se estudia la curvatura de f, igualando a cero esta vez la segunda derivada f(x), obteniéndose los posibles puntos de inflexion. Se estudia el signo en la f(x) en los intervalos, y así, sea x uno de estos puntos:

Si f(x) es negativa, entonces f(x) es concava.

Si f(x) es positiva, entonces f(x) es convexa.

Por ejemplo una función cuadrática que es básica y simple tiene la ecuación 

FUNCIÓN, REPRESENTACIÓN, RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS

FUNCION

Una función es una relación entre dos variables, de forma que a cada valor de la variable independiente , le asocia un único valor de la variable dependiente , que llamaremos imagen de . Decimos que y es función de  y lo se representa por:

REPRESENTACION

Es un tipo de representación de datos, generalmente numéricos, mediante recursos gráficos (lineas,vectores, superficies o símbolos), para que se manifieste visualmente la relación matemática o correlación estadística que guardan entre sí. También es el nombre de un conjunto d puntos que se plasman en coordenadas cartesianas y sirven para analizar el comportamiento de un proceso o un conjunto de elementos o signos que permiten la interpretación de un fenómeno. La representación gráfica permite establecer valores que no se han obtenido experimentalmente sino mediante la interpolacion (lectura entre puntos) y la extrapolacion (valores fuera del intervalo experimental).

RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS 

Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamadoRecorrido o Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del Recorrido o Rango.

También debemos agregar que toda ecuación es una Relación, pero no toda ecuación es una Función.

Todas las Relaciones pueden ser graficadas en el Plano Cartesiano.

Dados dos conjuntos A y B una relación definida de A en B es un conjunto de parejas ordenadas (par ordenado) que hacen verdadera una proposición; dicho de otro modo, una relación es cualquier subconjunto del producto cartesiano A x B.

RADIAN

El ángulo formado por dos radios de una circunferencia, medido en radianes, es igual a la longitud del arco que delimitan los radios dividida entre el radio; es decir, θ = s/r, donde θ es ángulo, s es la longitud de arco, y r es el radio. Por tanto, el angulo completo, , que subtiende una circunferencia de radio r, medido en radianes, es:

LIMITE, FUNCION CONTINUA Y DISCONTINUA

LIMITE

Un límite es una magnitud fija a la que se aproximan cada vez más los términos de una secuencia infinita de magnitudes.

Límite de una función se refiere a la cercanía entre un valor y un punto. Por ejemplo: si una función f tiene un límite X en un punto t, quiere decir que el valor de f puede ser todo lo cercano a X que se desee, con puntos suficientemente cercanos a t, pero distintos.

FUNCION CONTINUA

Una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Una función continua de  en  es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.

FUNCION DISCONTINUA

Función no continua como aquella que no cumple la definición de función continua, es decir, existe algun punto del dominio donde el límite de la función a ese punto no es igual al valor de ésta en el mismo punto:

f(x) no es continua si existe un x=a perteneciente al Dom(f) tal que limx→a±f(x)≠f(a)

 Por ejemplo:

la función f(x)={12 si  si x≤0x>0.

Esta función no es continua ya que en el punto x=0 observamos que:

limx→0+f(x)=limx→02=2f(0)=1

y como el límite lateral por la derecha no coincide con el valor de la función, deducimos que la función no puede ser continua. Podemos ver la representación gráfica a continuación:

Se tiene que tener en cuenta que se define una discontinuidad sobre puntos del dominio de una función. Si la función no estubiese definida en un punto, aunque tenga comportamiento parecido al de una discontinuidad, no tendría ninguna, ya no se podría aplicar la definición de discontinuidad.

DISCONTINUIDAD EVITABLE

Una discontinuidad evitable en un punto x=a es aquella en que los límites laterales coinciden, pero el valor de la función en el punto no, es decir:

limx→a−f(x)=limx→a+=Lf(a)≠L

Es razonable que llamen discontinuidad evitable a este tipo de discontinuidades ya que la función en el punto de discontinuidad parece que sea continua, pero el punto en concreto no existe, así que sólo añadiendo ese punto, lograríamos que la función fuera continua (se podría evitar la discontinuidad muy fácilmente).

  Por ejemplo la función

{x2−4x+20 si  si x≠−2x=−2

Podemos ver rápidamente que en el punto x=−2 puede que la función no conecte correctamente. Observemos pues la continuidad en ese punto:

limx→−2−f(x)=limx→−2−x2−4x+2=limx→−2−(x+2)(x−2)x+2=limx→−2−x−2=−4limx→−2+f(x)=limx→−2+x2−4x+2=limx→−2+(x+2)(x−2)x+2=limx→−2+x−2=−4f(−2)=0

Por consiguiente, f(x) tiene una discontinuidad evitable en el punto x=−2.

Discontinuidad inevitable (o de salto finito)

Una función f(x) tiene una discontinuidad inevitable en el punto x=a si los límites laterales de la función en este punto no coinciden (y son finitos), es decir:

limx→a−f(x)≠limx→a+f(x)f(a)=L

independientemente del valor de la función en x=a (del valor de f(a)).

Es razonable que se llame así ya que a diferencia de las discontinuidades evitables, esta vez al no ser iguales los límites laterales no hay manera de poder conectar las dos ramas de la función.

Por ejemplo la función

f(x)={x+1x−1 si  si x≤0x>0

podemos ver que en el cero tenemos:

limx→0−f(x)=limx→0x+1=1limx→0+f(x)=limx→0x−1=−1f(0)=1

y al no coincidir los límites, tenemos una discontinuidad inevitable (teniendo incluso que f(0)=1, que significa que tenemos continuidad lateral por la izquierda).

Podemos ver la representación gráfica de la función:

DISCONTINUIDAD ESENCIAL

Una función f(x) tiene una discontinuidad esencial en el punto x=a si se cumplen alguno de los siguientes casos:

o    Los límites laterales no coinciden.

o    Alguno de los límites laterales o ambos son infinitos.

Veamos pues exactamente cada caso:

o    Estamos en el caso anterior, discontinuidad inevitable.

o    Se cumple que : limx→a−f(x)=±∞ y/o limx→a+f(x)=±∞ y la función está definida en x=a (independientemente de su valor).

En estos casos aparecen las asíntotas verticales. Para más sobre éstas consultar el tema de representación gráfica.

la función

f(x)={1x1 si x≠0 si x=0

podemos ver que el cero seguramente tendremos algun problema de continuidad, así que miremos qué pasa con la continuidad de la función en este punto:

limx→0−f(x)=limx→0−1x=10−=−∞limx→0+f(x)=limx→0+1x=10⁺=∞f(0)=1

Por lo tanto tenemos una discontinuidad esencial en el punto x=0.

Podemos ver una representación gráfica de la función:

La función f(x)=1x no presenta discontinuidad esencial ya que la función es continua.

La discontinuidad la tendríamos en el punto x=0, pero éste no es del dominio de la función, así que no se puede definir la discontinuidad.

No obstante, la función sí tiene una asíntota vertical en x=0 y tiene un comportamiento análogo al de la discontinuidad esencial.

 

OPERACIONES CON FUNCIONES

SUMA DE FUNCIONES

Sean f y g funciones reales de variable real definida en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones y se representa por f + g a la función definida por:

(f+g)(x) = f(x) + g(x)

RESTA DE FUNCIONES

Del mismo modo que se ah definido la suma d funciones se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g como la función

(f-g)(x) = f(x) – g(x)

PRODUCTO DE FUNCIONES

Sean f y g dos funciones reales de variable real y definidas en un mismo intervalo se llama función producto d f y g a la función definida por

(f.g)(x) = f(x) . g(x)

COCIENTE DE FUNCIONES

Dadas dos funciones reales de variable real f y g definidas en un mismo intervalo se llama función cociente de f y g a la función definida por

(a.f)(x) = a.f(x)

TIPOS DE FUNCIONES

Ë  Funciones algebraicas

En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Las funciones algebraicas pueden ser:

·         Funciones explícitas

Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.

f(x) = 5x − 2

·         Funciones implícitas

Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.

5x − y − 2 = 0

Ë  Funciones polinómicas

Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.

f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₂x³ +··· + a_nxⁿ

Su dominio es , es decir, cualquier número real tiene imagen.

Ë  Funciones constantes

El criterio viene dado por un número real.

f(x)= k

La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

Ë  Funciones cuadráticas

f(x) = ax² + bx + c

Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

Ë  Funciones trascendentes

La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.

Ë  Funciones exponenciales

f(x) = a^x

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia a^x se llamafunción exponencial de base a y exponente x.

Ë  Funciones logarítmicas

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

f(x) = log_a

Ë  Funciones trigonométricas

·         Función seno

f(x) = sen x

·         Función coseno

f(x) = cos x

·         Función tangente

f(x) = tg x

·         Función cosecante

f(x) = cosec x

·         Función secante

f(x) = sec x

·         Función cotangente

f(x) = cotg x